БЕСКОНЕЧНОСТЬ — понятие, возникающее в разных разделах математики чаще как противопоставление понятию конечного. Так, среди натуральных чисел нет наибольшего, поскольку для любого натурального п число п + 1 тоже натуральное. Значит, натуральных чисел бесконечно много. При введении рациональных чисел (дробей) оказывается, что любой отрезок содержит бесконечно много рациональных чисел. Например, отрезок [0; 1] содержит все правильные положительные дроби. Если рассмотреть последовательность дробей вида 1/п, то можно увидеть, что эта последовательность бесконечно близко подходит к нулю, т. е. все её члены, начиная с некоторого п, меньше любого наперёд заданного положительного числа. Такие последовательности называют бесконечно малыми. В проективной геометрии принято считать, что две параллельные прямые пересекаются в некоторой бесконечно удалённой точке. В этом случае все пары прямых на плоскости становятся равноправны и всегда имеют одну общую точку (обыч- ную или бесконечно удалённую). При решении многих задач такие допущения оказываются очень удобными. В теории множеств рассматривают бесконечные множества, т. е. множества с бесконечным числом элементов. Первый вопрос, возникающий при рассмотрении бесконечных множеств, такой: можно ли говорить, что одно бесконечное множество больше другого? Для ответа на этот вопрос вводят понятие эквивалентных (равномощных) множеств: два множества называются эквивалентными, если между их элементами можно задать взаимно однозначное соответствие. Например, между чётными и нечётными числами легко установить взаимно однозначное соответствие (разбить их на пары): достаточно то- го, чтобы нечётное число в паре было на единицу больше чётного (пары: 2, 3, 4 5 и т. д.). Очевидно, множества чётных и нечётных чисел эквивалентны. Более необычно то, что множество чётных чисел эквивалентно множеству всех натуральных чисел (пары: п <=> 2п). То есть часть бесконечного множества (его подмножество) может быть равномощна ему самому. В теории множеств доказывается, что множество рациональных чисел име- ет ту же мощность, что и множество натуральных чисел, а мощность множества дей- ствительных чисел больше мощности натуральных чисел. Бесконечность обозначают Символами оо; +оо; -оо.
| 